SÓC. — Ya te dije poco antes, Menón, que eres taimado; ahora preguntas si puedo enseñarte yo, que estoy afirmando que no hay enseñanza, sino reminiscencia, evidentemente para hacerme en seguida caer en contradicción conmigo mismo.
MEN. — ¡No, por Zeus, Sócrates! No lo dije con esa intención, sino por costumbre. Pero, si de algún modo puedes mostrarme que en efecto es así como dices, muéstramelo.
SÓC. — ¡Pero no es fácil! Sin embargo, por ti estoy dispuesto a empeñarme. Llámame a uno de tus numerosos servidores que están aquí, al que quieras, para que pueda demostrártelo con él.
MEN. — Muy bien. (A un servidor.) Tú, ven aquí.
SÓC. — ¿Es griego y habla griego?
MEN. — Perfectamente; nació en mi casa.
SÓC. — Pon entonces atención para ver qué te parece lo que hace: si recuerda o está aprendiendo de mí.
MEN. — Así haré.
SÓC. — (Al servidor.) Dime entonces, muchacho, ¿conoces que una superficie cuadrada es una figura así? (La dibuja.)
SERVIDOR. — Yo sí.
SÓC. — ¿Es, pues, el cuadrado, una superficie que tiene todas estas líneas iguales, que son cuatro?
SERVIDOR. — Perfectamente.
SÓC. — ¿No tienen también iguales éstas trazadas por el medio1?
SERVIDOR. —Sí.
SÓC. — ¿Y no podría una superficie como ésta ser mayor o menor2?
SERVIDOR. — Desde luego.
SÓC. — Si este lado fuera de dos pies y este otro también de dos, ¿cuántos pies tendría el todo3? Míralo así: si fuera por aquí de dos pies, y por allí de uno solo4, ¿no sería la superficie de una vez dos pies?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. — Pero puesto que es de dos pies también aquí, ¿qué otra cosa que dos veces dos resulta?
SERVIDOR. — Así es.
SÓC. — ¿Luego resulta, ciertamente, dos veces dos pies?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. — ¿Cuánto es entonces dos veces dos pies? Cuéntalo y dilo.
SERVIDOR. — Cuatro, Sócrates.
Problema da duplicação do quadrado
SÓC. — ¿Y podría haber otra superficie, el doble de ésta, pero con una figura similar, es decir, teniendo todas las líneas iguales como ésta?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. —¿Cuántos pies tendrá?
SERVIDOR. — Ocho. Es decir, dos pies cuadrados.
SÓC. — Vamos, trata ahora de decirme cuál será el largo que tendrá cada una de sus líneas. Las de ésta tienen dos pies, ¿pero las de ésa que es doble?
SERVIDOR. — Evidentemente, Sócrates, el doble 35.
SÓC.—¿Ves, Menón, que yo no le enseño nada, sino que le pregunto todo. Y ahora él cree saber cuál es el largo del lado del que resultará una superficie de ocho pies, ¿o no te parece?
MEN. — A mí sí.
SÓC. — ¿Pero lo sabe?
MEN. — Claro que no.
SÓC. — ¿Pero cree que es el doble de la otra?
MEN. — Sí.
SÓC. — Observa cómo él va a ir recordando en seguida, como hay, en efecto, que recordar. (Al servidor.) Y tú, dime: ¿afirmas que de la línea doble se forma la superficie doble? Me refiero a una superficie que no sea larga por aquí y corta por allí, sino que sea igual por todas partes, como ésta, pero el doble que ésta, de ocho pies. Fíjate si todavía te parece que resultará el doble de la línea.
SERVIDOR. —A mí sí.
SÓC. — ¿No resulta ésta el doble que aquélla, si agregamos desde aquí otra cosa así 36?
SERVIDOR. — Por supuesto.
SÓC. — ¿Y de ésta 37, afirmas que resultará una superficie de ocho , pies, si hay cuatro de ellas iguales?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. — Dibujemos, pues, a partir de ella, cuatro iguales 38. ¿No sería ésa la superficie de ocho pies que tú afirmas?
SERVIDOR. — Por supuesto.
SÓC. — ¿Pero no hay en esta superficie estos cuatro cuadrados, cada uno de los cuales es igual a ése de cuatro pies 39?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. — ¿De qué. tamaño resultará entonces? ¿No es cuatro veces mayor?
SERVIDOR. — Desde luego.
SOC. —¿Y es doble lo que es cuatro veces mayor?
SERVIDOR. — ¡No, por Zeus!
SÓC. —¿Cuántas veces entonces?
SERVIDOR. — El cuádruple.
SÓC. — Entonces, de la línea doble, muchacho, no resulta una superficie doble sino cuádruple.
SERVIDOR. — Es verdad.
SÓC. — Y cuatro veces cuatro es dieciséis, ¿no?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. — Entonces la superficie de ocho pies, ¿de cuál línea resulta? De ésta 40 nos ha resultado el cuádruple.
SERVIDOR. — Eso digo.
SÓC. — ¿Y esta cuarta parte resulta de la mitad de esta línea aquí 41?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC.—Bien. ¿Pero la de ocho pies no es el doble de ésta y la mitad de ésa 42?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. — ¿No resultará entonces una línea mayor que ésta, pero med nor que ésa 43, o no?
SERVIDOR. —A mí me parece que sí.
SÓC. — ¡Muy bien!, pues lo que a ti te parece es lo que debes contestar. Y dime: ¿esta línea no era de dos pies y ésa de cuatro?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. — Entonces es necesario que la línea de la superficie de ocho pies sea mayor que ésta, que tiene dos pies, y menor que ésa, que tiene cuatro.
SERVIDOR. — Es necesario.
SÓC. — Trata de decir qué largo afirmas que tendrá.
SERVIDOR. —Tres pies.
SÓC. — Si ha de ser de tres pies, ¿agregamos la mitad de ésta 44 y tendrá tres pies? Porque ésos son dos pies, éste, uno; y por aquí, igualmente, dos éstos y uno éste, y así resulta la superficie que tú afirmas.
SERVIDOR. —Sí.
SÓC. — De modo que si tiene tres por aquí y tres por allí, ¿la superficie total resulta tres veces tres pies?
SERVIDOR. — Evidentemente.
SÓC. —Tres veces tres, ¿cuántos pies son?
SERVIDOR. — Nueve.
SÓC. —¿Y cuántos pies tiene la superficie del doble?
SERVIDOR. — Ocho.
SÓC. — Entonces de la línea de tres pies tampoco deriva la superficie de ocho.
SERVIDOR. — Desde luego que no.
84a SÓC. —Pero entonces, ¿de cuál? Trata de decírnoslo con exactitud. Y si no quieres hacer cálculos, muéstranosla en el dibujo.
SERVIDOR. — ¡Por Zeus!, Sócrates, que yo no lo sé.
SÓC. — Te das cuenta una vez más, Menón, en qué punto se encuentra ya del camino de la reminiscencia? Porque al principio no sabía cuál era la línea de la superficie de ocho pies, como tampoco ahora lo sabe aún; sin embargo, creía entonces saberlo y respondía con la seguridad propia del que sabe, considerando que no había problema. Ahora, en cambio, considera que está ya en el problema, y como no sabe la respuesta, tampoco cree saberla.
MEN. — Es verdad.
SÓC. —¿Entonces está ahora en una mejor situación con respecto del asunto que no sabía?
MEN. — Así me parece.
SÓC. — Al problematizarlo y entorpecerlo, como hace el pez torpedo, ¿le hicimos algún daño?
MEN. — A mí me parece que no.
SÓC. — Le hemos hecho, al contrario, un beneficio para resolver cómo es la cuestión. Ahora, en efecto, buscará de buen grado, puesto que no sabe, mientras que muchas veces antes, delante de todos, con tranquilidad, creía estar en lo cierto al hablar de la superficie doble y suponía que había que partir de una superficie del doble de largo.
MEN. — Así parece.
SÓC. —¿Crees acaso que él hubiera tratado de buscar y aprender esto que creía que sabía, pero ignoraba, antes de verse problematizado y convencido de no saber, y de sentir el deseo de saber?
MEN. —Me parece que no, Sócrates.
SÓC. —¿Ha ganado, entonces, al verse entorpecido?
MEN. — Me parece.
SÓC. — Observa ahora, arrancando de este problema, qué es lo que efectivamente va a encontrar, buscando conmigo, sin que yo haga más que preguntar, y sin enseñarle. Vigila por si me coges enseñándole y explicándole en lugar de interrogarle por sus propios pareceres.
(Al servidor.) Dime entonces tú: ¿No tenemos aquí una superficie de cuatro pies?
SERVIDOR. —Sí.
SÓC. —¿Podemos agregarle a ésa otra igual?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. — ¿Y esta tercera, igual a cada una de ésas?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. — ¿No podríamos completar, además, este ángulo?
SERVIDOR. — Por supuesto.
SÓC. —¿No resultarían entonces estas cuatro superficies iguales?
SERVIDOR. —Sí.
SÓC. —¿Y qué? ¿El todo éste cuántas veces es mayor que aquél?
SERVIDOR.—Cuatro veces.
SÓC. — Pero nosotros necesitábamos que fuera doble, ¿no te acuerdas?
SERVIDOR. — Por supuesto.
SÓC. — Entonces esta línea que va de un ángulo a otro, ¿no corta en dos a cada una de estas superficies?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. — ¿No son cuatro estas líneas iguales que encierran esta superficie 52?
SERVIDOR. — Lo son, en efecto.
SÓC. —Observa ahora: ¿qué tamaño tiene esta superficie?
SERVIDOR. — No entiendo.
SÓC. — De éstas, que son cuatro, ¿no ha cortado cada línea en su interior la mitad de cada una?, ¿o no?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. —¿Y cuántas de esas mitades hay en ésta?
SERVIDOR. —Cuatro.
SÓC. — ¿Y cuántas en ésa?
SERVIDOR. — Dos.
SÓC. —¿Qué es cuatro de dos?
SERVIDOR. — El doble.
SÓC. — ¿Y esta superficie, ¿cuántos pies tiene?
SERVIDOR. —Ocho pies.
SÓC. — ¿De cuál línea?
SERVIDOR. — De ésta.
SÓC. — ¿De la que habíamos trazado de ángulo a ángulo en la superficie de cuatro pies?
SERVIDOR. — Sí.
SÓC. —Los sofistas5) la llaman «diagonal», y puesto que si «diagonal» es su nombre, de la diagonal se llegará a obtener, como tú dices, servidor de Menón, la superficie doble.
SERVIDOR. — Por supuesto que sí, Sócrates.
Al cuadrado inicial (ABCD), Sócrates agrega las líneas. EF y GH. ↩
Sócrates seguramente señala, primero, el cuadrado mayor (ABCD) y, después, alguno de los menores (p. ej.: AHOE, HBFO, EOGD, etc.). ↩
Los griegos no disponían de un término para referirse a pies cuadrados. ↩
Sócrates compara uno de los lados del cuadrado mayor (p. ej.: BC) con otro de la figura menor (p. ej.: el AE de la figura ABFE). ↩
Con el significado de «expertos», «técnicos» o «especialistas, sin connotaciones peyorativas. (Véase n. 8 de Protágoras. ↩